Квантовая теория

Содержание разделов дисциплины

1. Введение в курс квантовой механики.

Очевидная неприменимость классической физики, механики и электродинамики, для описания микрообъектов, атомов, молекул, электронов и излучения. Проблема равновесного теплового излучения. Проблема устойчивости вещества. Дискретность в микромире. Спектральные линии. Опыты Франка и Герца.

Дискретность в классической физике. Аналогия с задачами на собственные значения. Колебания струны, волновое уравнение, граничные условия. Необходимость волнового описания микрочастиц. Экспериментальные указания на волновые свойства микрообъектов. Дифракция электронов. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Волновая и геометрическая оптика. Описание волновых полей в пределе малых длин волн как потоков частиц. Идея Де-Бройля о построении квантовой или волновой механики.

Элементы классической механики: принцип наименьшего действия, функция Лагранжа, действие как функция координат, запись принципа наименьшего действия через функцию Гамильтона. Уравнение Гамильтона-Якоби. Укороченное действие. Действие свободно движущейся частицы

Волновое уравнение в классической физике. Монохроматические волны. Уравнение Гельмгольца.

Восстановление волнового уравнения для свободной частицы по дисперсионному соотношению. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

2. Физические величины в классике и квантовой механике.

Необходимость введения физических величин как операторов, на примере операторов импульса и Гамильтона. Интерпретация волновой функции. Амплитуда вероятности. Принцип суперпозиции. Сложение амплитуд.

Мысленный эксперимент с двумя щелями. Амплитуда перехода. Амплитуда перехода как функция Грина уравнения Шредингера. Интерференция амплитуд. Аналогия с принципом Гюйгенса-Френеля. Композиция амплитуд.

Распределение вероятностей для координаты и для импульса. Переход в k - представление. Преобразование Фурье как разложение по собственным функциям оператора импульса. Интерпретация собственных значений операторов как наблюдаемых физических величин.

Дельта-функция как ядро единичного оператора. Различные представления

дельта-функции. Вычисление гауссовых интегралов. Немного математики. Воспоминания о математической физике и новый взгляд.

3. Общая теория операторов физических величин.

Задачи на собственные значения. Квантовые числа. Что значит «физическая величина имеет определенное значение». Дискретный и сплошной спектры.

Эрмитовость-определение. Действительность средних и собственных значений. Ортогональность и нормированность. Волновые функции как вектора. Скалярное произведение функций.

Разложение функций по собственным функциям оператора. Базисные функции и разложения. Вычисление коэффициентов. Операторы как матрицы. Непрерывные и дискретные индексы. Представления операторов умножения и дифференцирования как матриц.

Обозначения Дирака. Абстрактные вектора и абстрактные операторы. Представления и переход к различным базисам.

4. Измерение в квантовой механике.

Макроскопичность и классичность измерительного прибора. Измерение — «разложение» по собственным функциям прибора.

5. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

Решение методом Фурье. Волновой пакет. Принцип неопределенности. Некоммутативность операторов импульса и координаты. От каких переменных зависит волновая функция. Понятие полного набора. Отсутствие траектории.

Коммутируемость операторов и существование общих собственных функций.

Необходимость и достаточность. Еще раз о переходе к различным базисам.

Преобразования операторов и векторов состояний. Унитарные операторы — операторы сохраняющие ортонормированность.

Нестационарное уравнение Шредингера. Оператор эволюции. Функция Грина. Функции от операторов. Построение оператора эволюции путем разложения по собственным функциям стационарного уравнения. Оператор производной физической величины по времени.

6. Представление Гейзенберга.

Уравнения Гейзенберга. Уравнение Шредингера для связанных и асимптотически свободных систем.

7. Запутанные и независимые состояния.

Условие существования волновой функции у подсистемы. Чистые и смешанные состояния подсистемы. Описание смешанных состояний с помощью матрицы плотности. Правило вычисления средних. Эволюция матрицы плотности. Уравнение фон-Неймана.

8. Одномерное движение.

Одномерное уравнение Шредингера. Общие теоремы. Сплошной и дискретный спектры. Решение задач с кусочно-постоянными потенциалами. Граничные условия на скачках потенциала. Поиск дискретных уровней и собственных функций в прямоугольных потенциалах. Осцилляционная теорема. Вариационный принцип. Пример мелкой ямы. Существование связанного состояние в яме любой глубины в размерности 1 и 2. Одномерная задача рассеяния. Четные потенциалы. Оператор четности. Закон сохранения четности — принципиально квантовый ЗС не имеющий аналога в классике.

9. Точнорешаемые потенциалы.

Постоянная сила. Гармонический осциллятор. Потенциал Морса. Потенциал Эпштейна. Безотражательные потенциалы. Упоминание об обратной задаче теории рассеяния. Метод Лапласа. Гипергеометрическая и вырожденная гипергеометрическая функции. Поиск решения в виде ряда. Аналитическое продолжение. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Трехмерное уравнение Шредингера. Центрально-симметричный потенциал. Изотропия.

10. Гармонический осциллятор.

Подход операторов рождения и уничтожения. A la Feinman, «Статистическая физика». Вычисление собственных функций, нормировок и матричных элементов. Уравнение Эрмита. Метод Лапласа. Поиск решения в виде ряда. Нахождение собственных значений из условия обрыва ряда.

11. Оператор орбитального момента.

Преобразование вращения. Определение. Коммутационные соотношения. Собственные функции и числа. Явные выражения для операторов орбитального момента в сферических координатах. Вывод собственных чисел и функций операторов. Матричные элементы операторов орбитального момента. Симметрия по отношению к преобразованию инверсии. Истинные и псевдо скаляры, векторы и тензоры. Четность различных сферических гармоник. Рекуррентное выражение для собственных функций момента.

12. Движение в центральном поле.

Общие свойства. Центробежная энергия. Нормировка и ортогональность. Свободное движение в сферических координатах.

Сферические функции Бесселя и их выражения через элементарные функции.

Задача о трехмерной прямоугольной яме. Критическая глубина для существования связанного состояния. Сферический гармонический осциллятор. Решение в декартовой и сферической системе координат. Собственные функции. Вырожденная гипергеометрическая функция. Уравнение. Решение в виде степенного ряда. Квантование — следствие конечности ряда.

13. Кулоново поле.

Безразмерные переменные, кулонова система единиц. Решение в сферической системе координат. Дискретный спектр. Выражение для собственных значений энергии. Связь главного и радиального квантовых чисел. Подсчет степени вырождения. Наличие дополнительного вырождения.

14. Теория возмущений.

Стационарная теория возмущений. Общая теория. Операторная геометрическая прогрессия. Стационарная теория возмущений. Поправки к частоте для слабо ангармонического осциллятора. Стационарная теория возмущений в случае вырождения. Секулярное уравнение. Задача об электроне в поле двух одинаковых ядер. Правильные функции нулевого приближения. Интегралы перекрытия. Нестационарная теория возмущений. Общая теория. Резонансный случай. Золотое правило Ферми.

15. Квазиклассическое приближение.

Базисные решения. Локальная точность. Линейный слой. Функция Эйри. ВКБ решение. Метод Цвана. Задача о потенциальной яме. Правила квантования Бора-Зоммерфельда. ВКБ приближение. Задача о подбарьерном прохождении. Задача о надбарьерном отражении.

16. Спин.

Многокомпонентная волновая функция. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха. Спиновая переменная. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина.

Коммутационные соотношения. Собственные числа и собственные функции операторов спина. Матричные элементы. Спин 1/2. Матрицы Паули. Коммутационные и антикоммутационные соотношения. Алгебра матриц Паули. Вычисление произвольной функции от спинового скаляра. Оператор конечных вращений. Вывод с помощью матричного дифференциального уравнения. Преобразование к линейной по s форме. Матрицы U_x,y,z. Определение интенсивностей пучков в опытах Штерна-Герлаха при вращении анализатора.

17. Движение электрона в магнитном поле.

Уравнение Паули. Гиромагнитное отношение. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность. Эффект Бома-Аронова. Коммутационные соотношения для скоростей. Движение электрона в однородном магнитном поле. Калибровка Ландау. Решение уравнения. Уровни Ландау. Оператор координаты ведущего центра. Коммутационные соотношения для него.

Рекомендуемая литература

Основная литература

1. Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, т. 3, Москва, «Наука», 1989
2. Л.Шифф, Квантовая механика, Москва, ИЛ, 1967
3. А. Мессиа, Квантовая механика, т.1,2, М. Наука, 1978
4. А. С. Давыдов, Квантовая механика, М. Наука, 1973
5. Д.И.Блохинцев, Основы квантовой механики, Москва, «Наука», 1976.
6. В.Г. Левич, Ю. А. Вдовин, В. А. Мямлин, Курс теоретической физики, т.2
7. Л.И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.

Дополнительная литература

1. Р. Фейнман, Лейтон, Сэндс, Фейнмановские лекции по физике (ФЛФ), т. 3,8,9
2. Э. Ферми, Квантовая механика, М. Мир, 1968
3. Г. Бете, Квантовая механика, М. Мир, 1965
4. П. Дирак, Принципы квантовой механики, М. Наука, 1979
5. В. Балашов, В. Долинов, Курс квантовой механики, изд. МГУ, Москва

Задачники

1. А.М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике. Москва, «Наука», 1981.
2. М.Ш. Гольдман, В. Л. Кривченков, М. Наука, 1968
3. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т. 1,2 М. Мир, 1974

Вопросы для контроля

1. Докажите, что уравнение Шредингера сохраняет плотность вероятности.
2. Докажите, что собственные функции УШ инфинитного движения дважды вырождены.
3. Докажите, что собственные функции УШ свободного движения, соответствующие разным импульсам ортогональны.
4. Докажите, что собственные функции дискретного спектра невырождены.
5. Докажите, что собственные функции дискретного спектра УШ с четной ямой либо четны, либо нечетны.
6. Найдите собственную функцию УШ с линейным потенциалом.
7. Определите уровни энергии в симметричной прямоугольной яме конечной глубины.
8. Выведите граничные условия и определите коэффициент отражения от дельта-потенциала.
9. Напишите уравнение для собственных функций гармонического осциллятора и приведите его к безразмерному виду.
10. Найдите собственную функцию основного состояния гармонического осциллятора. Отнормируйте её.
11. Определите операторы рождения и уничтожения. Напишите гамильтониан гармонического осциллятора. Опишите их свойства.
12. Решая уравнение в координатном представлении найдите собственную функцию основного состояния.
13. Используя операторы a,a⁺ вычислите матричные элементы операторов x², p² в базисе собственных функций гармонического осциллятора.
14. Как преобразуются координаты при инфинитезимальном (бесконечно малом) вращении.
15. Связь оператора момента и вращения. Определение оператора момента. Выведите коммутационные соотношения между компонентами момента Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и координатами Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и импульсами l²,l_z представлении.
16. Собственные функции момента в сферических координатах. Напишите уравнение и его решение методом разделения переменных. Выражение через присоединенные полиномы Лежандра.
17. Четность состояния, оператор инверсии. Скаляры и псевдоскаляры, полярные и аксиальные векторы. Примеры.
18. Преобразование инверсии в сферических координатах. Связь четности с орбитальным моментом.
19. Сведите задачу двух тел к задаче движения одной частицы в центральном поле.
20. Разделите переменные УШ для центрального поля и напишите общее решение.
21. Напишите условие ортонормированности. Сколько квантовых чисел и каких образуют полный набор.
22. Определите уровни энергии частицы с моментом l, равным 0, движущейся в сферической прямоугольной яме конечной глубины. Определите минимальную глубину ямы, необходимую для существования связанного состояния.
23. Определите уровни энергии и волновые функции сферического гармонического осциллятора путем разделения переменных в декартовых координатах. Каковы квантовые числа. Определите степень вырождения уровней.
24. Напишите УШ для движения в кулоновом поле и приведите его к безразмерному виду. Атомная система единиц.
25. Определите асимптотику радиальной функции движения в кулоновом поле вблизи центра.
26. Какова степень вырождения уровней при движении в кулоновом поле.
27. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции, соответствующей невырожденной энергии
28. Выведите формулу для первой и второй поправок к энергии.
29. Используя теорию возмущений найдите первую поправку к частоте слабо ангармонического осциллятора из-за возмущения. Используйте операторы рождения и уничтожения
30. Выведите формулу для поправки к энергии в случае m кратного вырождения этого уровня. Секулярное уравнение.
31. Выведите формулу для поправки к энергии в случае 2 кратного вырождения этого уровня. Определите правильные волновые функции нулевого приближения.
32. Получите нестационарное уравнение Шредингера в представлении собственных функций невозмущенного гамильтониана.
33. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при произвольном нестационарном возмущении
34. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при гармоническом нерезонансном возмущении.
35. Выведите формулу для вероятности перехода при резонансном воздействии.
36. Золотое правило Ферми.
37. Выведите формулу главного члена квазиклассического асимптотического разложения.
38. Напишите локальные условия применимости квазиклассического приближения.
39. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле.
40. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле слева и справа от точки поворота.
41. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически запрещенной области в классически разрешенную. Каков набег фазы при отражении?
42. В квазиклассическом приближении определите уровни энергии в потенциальной яме. Правило квантование Бора-Зоммерфельда.
43. С помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда определите уровни энергии гармонического осциллятора. Сравнить с точным решением.
44. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически разрешенной области в классически запрещенную.
45. Понятие спина. Спиновая переменная. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха.
46. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина. На какие переменные действует оператор спина.
47. Напишите коммутационные соотношения для операторов спина
48. Докажите, что оператор s² коммутирует с операторами проекций спина.
49. Что такое s², s_z представление.
50. Напишите матрицы Паули.
51. Напишите матрицу s².
52. Напишите собственные функции операторов s_x,y,z для s=1/2 в s², s_zпредставлении.
53. Прямым вычислением докажите антикоммутативность матриц Паули.
54. Напишите матрицы конечных вращений U_x,y,z
55. На прибор Штерна-Герлаха с собственной осью z падает пучок, поляризованный по x. Что на выходе?
56. На прибор Штерна-Герлаха вдоль оси x падает пучок, поляризованный по z. Что на выходе, если ось прибора z' повернута относительно оси x на угол j?
57. Напишите УШ бесспиновой заряженной частицы в магнитном поле
58. Напишите УШ заряженной частица со спином 1/2 в магнитном поле.
59. Опишите связь спина и магнитного момента частицы. Что такое гиромагнитное отношение, магнетон Бора, ядерный магнетон. Чему равно гиромагнитное отношение электрона.
60. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность.
61. Удлиненные производные.
62. Напишите выражения для операторов компонент скоростей и получите коммутационные соотношения для них при конечном магнитном поле.
63. Напишите уравнения движения электрона в однородном магнитном поле в калибровке Ландау.
64. Приведите УШ электрона в магнитном поле к безразмерному виду. Магнитная длина.
65. Выведите волновые функции и значения энергии электрона в магнитном поле.
66. Какими квантовыми числами характеризуется состояние. Уровни Ландау.