Теория сверхпроводимости
Учебное пособие
Феноменологическая теория сверхпроводимости
Физика сверхпроводников. Микроскопическая теория.
Содержание разделов дисциплины
1. Введение.
Основные экспериментальные факты. Переход в СП состояние, критическая температура, критическое магнитное поле. Эффект Мейснера. Отличие СП и идеального проводника. Аналогия между СП и магнетиками.
2. Термодинамическое описание сверхпроводников.
Термодинамические потенциалы. Свободная энергия СП в магнитном поле. Изменение термодинамических параметров образца при СП переходе. Переходы 1-го и 2-го рода. Промежуточное состояние СП. Разрушение сверхпроводимости током.
3. Линейная электродинамика сверхпроводников.
Уравнения Лондонов. Глубина проникновения магнитного поля. Примеры применения теории Лондонов. Сверхпроводники в СВЧ полях, поверхностный импеданс СП.
4. Теория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау.
Понятие параметра порядка. Уравнения Гинзбурга-Ландау. Градиентная инвариантность теории. Квантование магнитного потока. Два характерных масштаба длины в СП. Критические поля и токи тонких пленок. Максимальная плотность тока в СП.
5. Сверхпроводники второго рода.
Проникновение поля в СП второго рода. Энергия и поле одиночного вихря. Первое и второе критические поля. Взаимодействие вихрей. Эффект Джозефсона. Вывод формулы для тока из теории Г-Л. Резистивная модель джозефсоновского контакта. V - А характеристика. Влияние магнитного поля на критический ток.
6. Эффект Джозефсона.
Вывод формулы для тока из теории Г-Л. Резистивная модель Джозефсоновского контакта. Вольт-амперная характеристика. Влияние магнитного поля на критический ток.
7. Основы квантовой механики систем многих частиц и статистической физики.
Понятие состояния. Волновая функция одного электрона. Спин. Одночастичные операторы. Многочастичная волновая функция. Многочастичные операторы (концентрация, ток, импульс и т. п.). Вычисление средних от операторов. Зависимость состояний от времени, уравнение Шредингера. Обозначения Дирака для состояний, операторов и средних физических величин. Гамильтониан электрон-ионной системы.
Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности. Вычисление средних с помощью матрицы плотности. Зависимость матрицы плотности от времени, уравнение фон-Неймана. 1,2,N-частичные матрицы плотности
Матрица плотности в равновесной статистической механике. Каноническое распределение, распределение с переменным числом частиц. Свободная энергия, химический потенциал.
Состояния системы тождественных частиц. Фермионы и бозоны. Равновесная одночастичная матрица плотности, распределение Ферми и Бозе. Термодинамические характеристики вырожденного электронного газа.
Метод вторичного квантования. Волновая функция в представлении чисел заполнения. Операторы рождения и уничтожения. Правила коммутации. Выражение операторов физических величин через операторы рождения и уничтожения. Шредингеровский и Гейзенберговский подход к квантовой механике. Зависимость операторов от времени, уравнения Гейзенберга.
8. Теория сверхпроводимости.
Гамильтониан электрон-ионной системы. Введение фононов.
Газ электронов, описание в терминах квазичастиц, электронов и дырок. Статистическая механика газа электронов в квазичастичном представлении. Фононы. Гамильтониан фононной системы. Статистическая механика газа фононов.
Электрон-фононное взаимодействие. Притяжение электронов.
Задача Купера. Куперовские пары.
Гамильтониан Бардина — Купера — Шриффера.
Основное состояние сверхпроводника. Приближение самосогласованного поля. Уравнения Боголюбова. Волновая функция БКШ. Уравнение самосогласования для нулевой температуры.
Квазичастицы. Конечные температуры. Теплоемкость сверхпроводника.
Эксперименты по проверке существования энергетической щели. Сверхпроводник с током, случай нулевых и ненулевых температур. Связь микротеории с теорией Гинзбурга- Ландау.
Рекомендуемая литература
Основная литература
- В.В.Шмидт. Введение в физику сверхпроводников. М. Наука. 1982 г.
- А.А.Абрикосов. Основы теории металлов. М. Наука. 1987 г.
- Дж.Шриффер. Теория сверхпроводимости. М. Наука.1970.
- Тинкхам. Введение в сверхпроводимость. 1980. Атомиздат.
- Тилли Дэвид Р. М. «Мир» 1977. Сверхтекучесть и сверхпроводимость.
- Роуз -Инс. Введение в физику сверхпроводимости. М. «Мир».1972.
Дополнительная литература
- Р.Фейнман. Статистическая механика. М. «Мир». 1975.
- Р.Фейнман, Лейтон, Соэнде. Фейнмановские лекции по физике. Т. 8-9.
- Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика, Ч.1. М. Наука. 1976.
- Е.М.Лифшиц, Л. П. Питаевский. Статистическая физика. Ч.2, М. Наука. 1978.
- Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М. Наука. 1982.
Вопросы для контроля
- Нарисовать фазовую диаграмму сверхпроводника (СП) на плоскости H, T.
- Что такое критическая температура Tc и критическое поле Hc(T).
- Что такое эффект Мейсснера.
- Напишите уравнения Максвелла.
- Чему равен экранирующий поверхностный ток в сверхпроводнике, помещенном в магнитное поле.
- Чему равна и как направлена поверхностная сила в сверхпроводнике, помещенном в магнитное поле.
- Какова характерная толщина слоя в которой течет ток, как она зависит от температуры в теории Гинзбурга-Ландау.
- Напишите уравнения двухжидкостной модели сверхпроводника, какие параметры в нее входят.
- Для eiwt процессов написать выражение для проводимости и диэлектрической проницаемости сверхпроводника.
- Написать уравнение Лондонов.
- Написать связь между током и векторным потенциалом для сверхпроводника.
- Написать первое и второе начало термодинамики для сверхпроводника.
- Написать выражение для свободной энергии сверхпроводника.
- Напишите связь между внутренней и свободной энергией сверхпроводника.
- Написать условие равновесия нормальной и сверхпроводящей фазы в образце.
- Чему равна теплота N-S перехода в магнитном поле (Hc(T)-известна).
- Чему равен скачок теплоемкости при фазовом переходе.
- Написать фунционал теории Гинзбурга-Ландау (Г-Л) для пространственно однородного случая.
- Из теории Г-Л для пространственно однородного случая вывести выражения для Hc(T).
- Из теории Г-Л для пространственно однородного случая вывести выражения для теплоты N-S перехода.
- Из теории Г-Л для пространственно однородного случая вывести выражения для скачка теплоемкости при N-S переходе.
- Написать уравнения Г-Л без магнитного поля.
- Что такое длина когерентности и как она зависит от температуры в теории Г-Л
- Написать уравнения Г-Л с магнитным полем.
- Написать калибровочное преобразование для A и y и доказать инвариантность уравнений Г-Л относительно этого преобразования.
- Вывести формулу для кванта потока F0.
- Чему равна глубина проникновения магнитного поля в теории Г-Л и как она зависит от температуры.
- Напишите систему единиц, обезразмеривающую систему Г-Л.
- Напишите выражение для критического поля через l и x.
- Что такое параметр Г-Л - k в теории Г-Л .
- Чем отличаются сверхпроводники 1 и 2 родов.
- Напишите выражение для энергии N-S границы в критическом магнитном поле через распределения B(x) и y(x).
- Нарисуйте график зависимости энергии N-S границы от параметра k.
- Нарисуйте фазовую диаграмму сверхпроводника 2 рода.
- Что такое верхнее и нижнее критические поля в СП 2 рода.
- СП помещен в во внешнее однородное поле H=Hc2. Напишите зависимость магнитного поля (B и A) в СП от координат.
- Чему равно верхнее критическое поле в теории Г-Л.
- Нарисуйте распределение магнитного поля и параметра порядка в одиночном абрикосовском вихре.
- Квантовая механика свободного электрона в кристаллической решетке. Каковы собственные функции одночастичного гамильтониана и квантовые числа.
- С помощью операторов рождения и уничтожения электронов в блоховских состояниях напишите выражение для Гамильтониана идеального электронного газа в периодической кристаллической решетке. Каково основное состояние, что такое химпотенциал и энергия Ферми.
- Напишите минимальный гамильтониан БКШ, учитывающий главные взаимодействия. Какие приближения делаются при расчете основного состояния. Почему?
- Квазичастичное описание электронного газа. Связь операторов a, a+ для частиц и квазичастиц. Коммутационные соотношения. Выведите формулу для дисперсии квазичастиц в нормальном электронном газе. С помощью критерия Ландау докажите, что электронный газ не обладает сверхпроводимостью.
- Покажите, что в модели БКШ химический потенциал определяется таким же выражением, как и в нормальном ферми-газе.
- Фононы в кристаллах. Общая теория. Адиабатическое приближение. В простейшей одномерной модели получите формулу для дисперсии фононов. Акустические и оптические фононы. Возможные поляризации.
- Покажите, что в задаче Купера наиболее сильно связываются электроны с нулевым, относительно Ферми-сферы, суммарным импульсом. Напишите уравнение Шредингера и проанализируйте, как зависит энергия связи от малого суммарного импульса.
- Квантовая механика фононов. Операторы рождения и уничтожения. Связь с операторами смещений и импульсов атомов. Коммутационные соотношения в узельном (координатном) и импульсном представлениях. Гамильтониан фононов и его собственные числа.
- Напишите волновую функцию БКШ через параметры u_k, v_k. Используя явные выражения для u, v найдите масштаб размазки Ферми-поверхности и оцените размер куперовской пары
- Природа электрон-фононного взаимодействия. Опишите э-ф взаимодействие в приближении заданного атомного потенциала. Напишите гамильтониан в терминах операторов рождения и уничтожения для электронов и фононов. Напишите выражение матричного элемента э-ф взаимодействия через ионные потенциалы и 1 электронные волновые функции. Покажите, что в приближении сплошной среды при взаимодействии сохраняется импульс.
- Напишите волновую функцию возбужденного состояния БКШ сверхпроводника с одной квазичастицей, докажите что волновая функцию возбужденного состояния БКШ сверхпроводника с одной квазичастицей ортогональна основному состоянию.
- Напишите общую формулу теории возмущений для 1 и 2 поправки к энергии и найдите поправку 2 порядка к энергии двух электронов из-за обмена продольным фононом в модели желе. При каких условиях обмен фононом ведет к притяжению между электронами. Выясните, при каких соотношениях поправка к энергии велика. Что происходит при резонансе? Разберитесь с точки зрения законов сохранения энергии и импульса.
- С помощью коммутационных соотношений вычислите среднюю кинетическую энергию.
- в состоянии БКШ, напишите её как функцию и сравните её со средней кинетической энергией в состоянии Ферми.
- Что такое плотность состояний, выражение для нее в идеальном ферми газе. Что происходит с плотностью состояний при сверхпроводящем переходе.
- С помощью коммутационных соотношений вычислите среднюю потенциальную энергию в состоянии БКШ, напишите её как функцию и сравните её с аналогичной величиной в состоянии Ферми.
- Задача Купера. Напишите уравнение Шредингера, приближенно его решите и вычислите энергию связи Куперовской пары.
- Какова типичная дисперсия электронов в периодической решетке. График? Что такое обратная решетка? Что такое зона Бриллюэна.
- Что такое прямой вариационный принцип и пробные функции. Напишите пробную функцию БКШ и объясните физ. смысл u(k),v(k).
- Получите формулы для энергии Ферми и энергии Дебая.
- Как определяется параметр порядка через u,v и другие параметры.
- Что такое дебаевская шуба? Вычислите её толщину в k— пространстве.
- Выведите уравнение самосогласования для D в теории БКШ для нулевой температуры. Решите его и проанализируйте зависимость D от параметров.
- В представлении операторов рождения и уничтожения напишите гамильтониан электрон-фононной системы с учетом кулоновского взаимодействия. Дайте графическое представление с помощью диаграмм Фейнмана.
- Напишите определение энергии квазичастицы и выведите формулу, описывающую дисперсию квазичастиц в теории БКШ. Нарисуйте график дисперсии квазичастиц в сверхпроводнике, сравните его с дисперсией квазичастиц в идеальном ферми газе.
- Обоснуйте предположение, сделанное БКШ, что взаимодействуют только электроны с противоположными спинами.
- Сформулируйте и обоснуйте критерий сверхтекучести Ландау и докажите, что электронная БКШ жидкость сверхтекуча. Определите критическую скорость и критическую плотность электрического тока, при которой разрушается сверхпроводимость. Нарисуйте дисперсию квазичастиц в движущейся электронной сверхпроводящей жидкости.
- Сформулируйте адиабатическое приближение для расчета фононов. Оцените скорость звука в твердом теле, пользуясь моделью Борна-Оппенгеймера. Выразите её через скорость Ферми в металле.